Algebra 1

Mededelingen

(17-VII) Hier zijn het hertentamen en de uitwerkingen ervan.
(13-VII) De hertentamens zijn in te zien op 16 juli van 11:00 tot 12:30 in kamer 250.
(13-VII) De cijfers van het hertentamen staan inmiddels online.
(29-VI) De tentamens zijn in te zien op 3, 4, en 5 juli van 11:00 tot 12:30 in kamer 250.
(28-VI) We hebben van opgave 4 over primitieve wortels een bonusopgave gemaakt. Hierdoor is het cijfer van iedereen hoger geworden. De uitwerkingen staan hier. De cijfers staan inmiddels weer online.
(27-VI) Totdat we de cijfers van het tentamen hebben ingevoerd, is de cijferlijst offline.
(4-VI) Nagekeken huiswerk kan trouwens opgehaald worden bij Jinbi Jin, Snellius kamer 252. (Aanwezig: 5, (10-14 op afspraak), 18, 19, 21, (26 op afspraak) (alle in juni, va. ~11 uur))
(24-V) De behandelde stof dit jaar is: §1 t/m §6, Stelling 7.7, Lemma 7.8, §8 t/m Gevolg 8.6.
(24-V) Van de oude tentamenopgaven in het dictaat valt 2003, 3c niet onder de dit jaar behandelde stof.
(24-V) Je vindt meer oude tentamens hier.
(11-IV: HW9) In tegenstelling tot wat eerder gezegd is, hoef je Stelling 5.10 niet te gebruiken bij opgave 5.39. (Maar uiteraard moet je nog steeds Stellingen 5.14 en 5.9 daarbij gebruiken, opmerking is ook aangepast)
(14-III: HW6) Let op de 3pt opgaven voor 21-III!
(8-III: HW4) Voor de duidelijkheid: Bij 4.37 mag je opgave 2.28 niet gebruiken.
(8-III) Over het algemeen is het niet toegestaan om andere opgaven te gebruiken, tenzij je deze zelf doet (en inlevert!), en tenzij in de opmerkingen staat dat mag.

Rooster

Hoorcollege

Docent: Ronald van Luijk, kamer 229, e-mail: rvl (at) math.leidenuniv.nl
Locatie: Gorlaeus C1, (plattegrond, routebeschrijving)
Data: donderdag 7 februari t/m 23 mei, m.u.v. 28 maart, 2 mei, en 9 mei.
Tijd: 09:00 - 10:45

Behandelde stof

Datum	Behandelde stof
7 februari	§1
14 februari	§2 tot en met §2.8
21 februari	rest van §2
28 februari	§3
7 maart	§4 tot en met p.45
14 maart	§4 tot en met p.50
21 maart	rest van §4, §5 tot en met §5.6
4 april	§5 tot en met begin p.64
11 april	rest van §5
18 april	§6 tot en met 6.12 (6.12 en paragraaf ervoor op werkcollege)
25 april	rest van §6, Stelling 7.7, Lemma 7.8
16 mei	§8 tot en met "commutatorondergroep"
23 mei	Tentamen 2011

Werkcollege

Docenten:
- Floris Claassens, zaal 312, kamer 205, e-mail: floris.claassens (at) hotmail.com
- Johan Commelin, zaal 312, kamer 205, e-mail: jcommeli (at) math.leidenuniv.nl
- Abtien Javanpeykar, kamer 232, e-mail: ajavan (at) math.leidenuniv.nl
- Jinbi Jin, zaal B1/B2, kamer 252, e-mail: jinmengjun+al1 (at) gmail.com
- Tristan Tilly, zaal B1/B2, kamer 205, e-mail: ttillij (at) live.nl
- Raoul Wols, zaal B1/B2, kamer 205, e-mail: raoulwols (at) gmail.com
Locatie: 312 (iets meer zelfstandig werken), B1, B2 (iets meer uitleg) (Snellius)
Data: donderdag 7 februari t/m 23 mei, m.u.v. 28 maart, 2 mei, en 9 mei.
Tijd: 11:15 - 13:00

Tentamen

Tentamen: donderdag 27 juni, 10:00-13:00. Locatie: Gorlaeus C4/C5.
Hertentamen: vrijdag 12 juli, 14:00-17:00. Locatie: Snellius 401/412.

Per week moeten 3 opgaven ingeleverd worden, te kiezen uit de opgaven die hieronder wekelijks bekend zullen worden gemaakt. Het huiswerk bepaalt de helft van het eindcijfer en is dus essentieel voor het halen van het vak.

Het huiswerkcijfer wordt bepaald door de volgende formule: cijfer = punten + 1. Dit betekent ook dat als je alleen maar 2-puntsopgaven maakt, je maximaal een 7 kan halen.

Als je vastzit bij het maken van een opgave, kan je altijd voor hulp langslopen bij een van de werkgroepbegeleiders of de docent.

De cijfers komen hier te staan (niet op naam, maar op studentnummer).

Inleverdatum	2-puntsopgaven	3-puntsopgaven
14 februari	§1: 9, 11, 14¹, 17, 19, 20, 21, 25	§1: 12, 16, 18², 22, 26
21 februari	§2: 15, 16, 17, 18, 19, 22, 25	§2: 23³, 24, 31, 37, 38
28 februari	§2: 9⁴, 27, 30, 32, 46, 50⁵, 54	§2: 28, 39, 40, 51, 56⁶
7 maart	§3: 3, 11, 13, 16, 20, 21	§3: 24⁷, 26⁸, 29⁹, 30, 31
14 maart	§4: 13, 16, 19, 21, 25	§4: 20, 27, 28, 37¹⁰, 43¹¹
21 maart	§4: 7, 9, 45, 46, 47	§4: 31, 50, 53, 55, 58¹²
28 maart	(Collegevrije week, hertentamen programmeermethoden)	(geen huiswerk, er is wel huiswerk voor de volgende week!)
4 april	§5: 1, 11, 12¹³, 13¹³	§4: 29, 34, 51¹⁴, 59; §5: 14¹⁵, 19¹⁶, 20¹⁷
11 april	§4: 56¹⁸, 57¹⁹. §5: 34¹⁹, 38	§5: *²⁰, 17²¹, 24²². §4: 60²³
18 april	§5: 27, 28²⁴, 36, 46²⁵	§5: 18, 29, 39²⁶, 45²⁷
25 april	§6: 4, 11²⁸, 15, 25²⁹	§5: 49³⁰, 50³¹. §6: 24, 26³²
2 mei	(Collegevrije week)	(geen huiswerk)
9 mei	(Hemelvaartsdag)	(geen huiswerk, er is wel huiswerk voor de volgende week!)
16 mei	§6: 13³³, 14³⁴, 41³⁵, 55³⁶. §7: 11³⁷, 16, 17³⁸	§6: 28, 30³⁹, 36, 43⁴⁰
23 mei	§8: 12⁴¹, 16, 18, 21	§8: 10, 13⁴², 15⁴³, 17

Opmerkingen

¹Alleen de eerste zin.
²Met bewijs.
³Je mag 2.22 gebruiken.
⁴Controleer dat je voor n=5 precies 120 elementen krijgt.
⁵De laatste zin mag je overslaan.
⁶Je mag 46 gebruiken. Hint: Doe eerst opgave 6.
⁷Met behulp van 3.11.
⁸Bewijs dat er een a in R² is zodat voor alle φ in Sym(F) geldt dat φ(a)=a, en neem die a als oorsprong.
Enige hints. Laat zien dat de afbeelding L: Sym(F) → O₂(R) injectief is, dat iedere niet-triviale φ in Sym(F)⁺ een uniek vast punt a_φ heeft, en dat Sym(F)⁺ commutatief is.
⁹Lees 'met een positieve factor' als 'met dezelfde positieve factor'.
¹⁰Ook in het geval met drie ondergroepen moet je je uitspraak bewijzen.
¹¹Je moet de hint uitwerken, je mag 42 gebruiken.
¹²Dus, zoals gebruikelijk, inclusief het ster-onderdeel, waar je ook een bewijs moet geven.
¹³Geef ook een verzameling representanten (een deelverzameling R van X die van iedere baan precies 1 element bevat). Opg. 5.2 mag gebruikt worden, en die wordt gedaan in het college.
¹⁴Geef ook de vermenigvuldigingstabel van S₄/H₂.
¹⁵Je mag gebruiken dat isometrieen van de R³ die O bewaren lineair zijn.
¹⁶Hint: begin met c.
¹⁷Je mag 5.19 gebruiken.
¹⁸2 punten voor A^tor ondergroep, en 2 punten voor eigenschap A/A^tor.
¹⁹Zonder de laatste zin.
²⁰(Een variant van 5.16) Bepaal het aantal kleuringen met n (n ≥ 1) kleuren van de hoekpunten van de kubus, op rotatie symmetrie (de groep K⁺) na.
²¹Maar met n (n ≥ 1) kleuren. Let op, de symmetriegroep is D₅.
²²Hint: gebruik 5.20.
²³Hints. Laat G werken op G/H₁ × G/H₂ en gebruik Stelling 5.3. Voor het 2e deel: bekijk G = S₃.
²⁴Je mag 5.27 gebruiken, en de uitkomst van 5.9: 1, 20, 15, 12, 12.
²⁵Je mag 5.45 en 4.34 gebruiken.
²⁶Je moet Stellingen 5.14 en 5.9 gebruiken.
²⁷Je mag 5.42 gebruiken.
²⁸Je mag 5.39 gebruiken.
²⁹Hint: Bepaal orde van x in (Z/pZ)^*.
³⁰Hint: Gebruik de banenformule.
³¹Hint: Stel H is een ondergroep van G die niet gelijk is aan G. Gebruik 5.49 om te bewijzen dat G niet de vereniging is van de geconjugeerden van H.
³²Je mag 6.25 gebruiken.
³³Neem a = 54321 en b = 98765. Laat je berekening zien.
³⁴Laat je berekening zien.
³⁵Vergeet het tweede deel niet.
³⁶Ter herinnering: een lichaam is een commutatieve ring, waarin 1 en 0 niet gelijk zijn, en iedere x ongelijk 0 multiplicatief inverteerbaar is.
³⁷Je mag 6.55 gebruiken.
³⁸Hint: Je mag de antwoorden vinden met de computer, maar je moet de antwoorden bewijzen met de hand.
³⁹Alleen het eerste deel.
⁴⁰Doe opgave 4.23 en laat zien dat de ondergroepen cyclisch zijn. Je mag 6.42 gebruiken zonder die te bewijzen.
⁴¹Hint: Probeer G = A₄.
⁴²Je mag opgave 2.23 gebruiken.
⁴³Je mag opgave 8.13 gebruiken, en let op het geval n = 1.

Reglement voor huiswerk

Huiswerk wordt op de volgende manier behandeld:

Huiswerk moet aan het begin van het werkcollege (11:20 voor elektronische inzendingen) worden ingeleverd.
Huiswerk kan op twee manieren worden ingeleverd. Op papier bij het werkcollege, of elektronisch per e-mail (naar jinmengjun+al1 (at) gmail.com). (Niet op beide manieren inleveren!)
Huiswerk dat op tijd is ingeleverd krijgt een cijfer tussen 1 en 10.
Huiswerk dat te laat, maar minder dan een week te laat, is ingeleverd krijgt 60% van het cijfer dat het gehad zou hebben als het op tijd was.
Huiswerk dat meer dan een week te laat wordt ingeleverd wordt gezien als niet ingeleverd.
De twee laagste huiswerkcijfers tellen niet mee voor het eindhuiswerkcijfer.
Het is geen enkel probleem als mensen samenwerken bij de opgaven, zolang je bij elke opgave vermeldt met wie je hebt samengewerkt en het schrijven van de daadwerkelijke uitwerking een individuele aangelegenheid blijft.
Woordelijke kopieën worden niet geaccepteerd.

Inhoud

In dit eerste college uit de algebracyclus wordt een aantal onderwerpen uit het vak wiskundige structuren, zoals gehele getallen, permutaties, symmetriegroepen en restklassen, geabstraheerd en geünificeerd in het begrip `groep'. Er wordt aandacht geschonken aan toepassingen in de combinatoriek, de vlakke meetkunde, de getaltheorie en de cryptografie.

Behandeld worden: permutaties, vlakke symmetrieën, groepshomomorfismen, groepswerkingen, rekenen modulo n, het RSA-cryptosysteem, producten en quotiënten van groepen, abelse groepen en Sylowondergroepen.

Tijdens het werkcollege zal tevens aandacht geschonken worden aan het correct opschrijven van bewijzen.

Voorkennis

Dit vak is bedoeld voor eerstejaars studenten en vereist geen voorkennis. Het helpt wel aanzienlijk als het vak wiskundige structuren met goed gevolg doorlopen is.

Literatuur

Het dictaat Algebra 1 van Prof. Stevenhagen zal als richtlijn dienen voor het college. Dit dictaat is te koop voor € 9,00 bij het eerste werkcollege en bij het secretariaat (kamer 203a). Het wordt zeer gewaardeerd als gepast betaald wordt met zoveel mogelijk munten van 1 euro. Daarnaast is het hier online beschikbaar.

Tentamenregeling

Het eindcijfer is het gemiddelde van het cijfer voor het afsluitend tentamen en het cijfer voor de wekelijkse huiswerkopgaven. Bij het tentamen mogen boeken, dictaten en aantekeningen gebruikt worden, maar geen rekenmachines of andere electronische hulpmiddelen.

Succesvolle deelname aan dit vak wordt beloond met 6 ECTS studiepunten. Hiervoor moet het cijfer voor het tentamen ten minste een 5 bedragen en het eindcijfer ten minste een 5.5.

Algebra 1 (voorjaar 2013)

Behandelde stof

Werkcollege

Tentamen