Algebra 1 (voorjaar 2015)

 

Fraude

[Liever had ik deze paragrafen niet opgenomen, laat staan zo prominent bovenaan de webpagina gezet, maar op deze manier zijn de nieuwe strengere regels voor fraude voor niemand een verrassing.]

De enige reden dat we huiswerk hebben is de ervaring dat studenten baat hebben bij het regelmatig gedetailleerd uitwerken van opgaven en de feedback daarop. Zoals onder het kopje huiswerk staat vermeld, is samenwerken toegestaan, maar dient iedereen daarop de opgaven individueel uit te werken. Onder samenwerken verstaan we het uitwisselen van ideeën, zoals bijvoorbeeld welke stellingen je voor een bewijs kunt gebruiken en waarom, of hoe je een lange berekening aan zou kunnen pakken. Hier valt niet onder het samen letterlijk opschrijven van een bewijs of het precies uitwerken van die lange berekening, ook al denk je dit later individueel nog een keer opnieuw te doen.

Waar het door sociale media steeds makkelijker wordt teksten met elkaar te delen, dienen studenten zich te realiseren dat het (geheel of gedeeltelijk) overschrijven van een (geheel of gedeeltelijk) door een ander geschreven tekst valt onder plagiaat en dus fraude. Dit geldt niet alleen voor publicaties en scripties, maar ook voor kleinere werkstukken en huiswerk en wordt door de universiteit zeer serieus genomen.

Omdat huiswerkuitwerkingen niet openbaar gemaakt (dienen te) worden, zijn in het geval van huiswerk bij deze vorm van fraude meestal zowel degene die overschrijft als degene van wie wordt overgeschreven betrokken. Bij het overschrijven van huiswerk krijgen alle betrokkenen het cijfer 0 voor dat huiswerk. Bovendien is dit cijfer niet te schrappen als een van de laagste cijfers. Daarnaast zullen de namen van alle betrokkenen worden doorgegeven aan de examencommissie die alle betrokkenen het recht van het doen van het tentamen kan ontzeggen.

Verdenking van betrokkenheid bij plagiaat is makkelijk te voorkomen. Zorg dat je bij het uitwerken van je opgaven geen tekst naast je hebt liggen die geheel of gedeeltelijk door een ander is geschreven, ook niet van degenen met wie je samengewerkt hebt. Deel je eigen uitwerkingen niet met een ander. Schrijf bij je uitwerkingen de namen van degenen met wie je samengewerkt hebt.

 

Mededelingen

 

Rooster

Hoorcollege

 

Behandelde stof

(Toekomstige data zijn planning.)

Datum Behandelde stof
12 februari §1: symmetrieën van de ruit en rekenen modulo 8; §2 t/m 2.2: groepen, de orde
19 februari §2 t/m 2.8: de orde, \(S_n\), cykelnotatie, ondergroepen, inclusief opgave 2.49
26 februari rest van §1 en §2: \(D_4\), voortbrengers, tekenafbeelding, \(A_n\), tetraëder, inclusief opgave 2.46
5 maart §3: symmetrieën van het vlak
12 maart (geen college)
19 maart §4: homomorfismen, kern, beeld, (linker)nevenklasse, stelling van Lagrange, conjugatie
26 maart §4: (linker)nevenklasse, stelling van Lagrange, isomorfiestelling, centrum, normaaldeler
2 april §4: quotientgroep; §5: groepswerkingen, baan, stabilisator, baan-stabilisator-stelling 5.3
9 april §5: banenformule, reguliere werking
16 april (geen college)
23 april §5: conjugatiewerking, stelling van Cauchy
30 april §6: ggd, priemfactorisatie, ringen, \(\mathbb Z/n \mathbb Z\)
7 mei rest van §6: Euclidische algoritme, Chinese reststelling, stellingen van Euler en Fermat; 7.7, 7.8
14 mei (geen college)
21 mei §8, 8.4 t/m 8.6: homomorfiestelling, commutatorondergroep, abels gemaakte groep
28 mei RSA (§7)

Tentamenstof: zie Behandelde stof.

Werkcollege

 

Tentamen

 

Huiswerk

Per week moeten 3 opgaven ingeleverd worden, te kiezen uit de opgaven die hieronder wekelijks bekend zullen worden gemaakt. Het huiswerk bepaalt 25% van het eindcijfer en is wegens de oefening sowieso essentieel voor het halen van het vak.

Het huiswerkcijfer wordt bepaald door de volgende formule: \(\operatorname{cijfer} = \operatorname{punten} + 1\). Dit betekent ook dat als je alleen maar 2-puntsopgaven maakt, je maximaal een 7 kan halen.

Als je vastzit bij het maken van een opgave, kan je altijd voor hulp langslopen bij een van de werkgroepbegeleiders of de docent.

Inleverdatum 2-puntsopgaven 3-puntsopgaven overige goede opgaven (geen punten)
19 februari 1.91, 2.15, 2.16, 2.17, 2.22, 2.25 1.101, 2.24, 2.312, 2.37, 2.43 1.13, 1.15, 2.18, 2.19, 2.26, 2.35, 2.36, 2.44, 2.45
26 februari 2.93, 2.27, 2.30, 2.324, 2.46 2.235,33, 2.28, 2.394, 2.406, 2.51 1.16, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22, 1.23, 2.34, 2.47, 2.50
5 maart 1.17, 1.20, 2.50, 2.54 2.38, 2.527, 2.55, 2.56 1.24, 2.41, 2.42, 2.48, 2.53
12 maart (geen werkcollege) (geen werkcollege) (geen werkcollege)
19 maart 3.3, 3.11, 3.20, 3.21 3.248, 3.299,10, 3.3010, 3.3110 3.15, 3.22, 3.23, 3.25, 3.2611, 3.27, 3.28, 3.32, 3.33, 3.34
26 maart 4.16, 4.19, 4.21, 4.25 4.20, 4.27, 4.28, 4.4312 4.12, 4.13, 4.14, 4.15, 4.17, 4.18, 4.37
2 april 4.9, 4.45, 4.46, 4.47 4.29, 4.31, 4.5113, 4.53 4.7, 4.30, 4.32, 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.49, 4.50, 4.52, 4.58
9 april 4.55, 4.5614, 5.11, 5.1315,16 4.59, 4.6017, 5.1418, 5.2019 §5
16 april (geen werkcollege) (geen werkcollege) (geen werkcollege)
23 april 5.18, 5.2116,20, 5.27, 5.3421 (*)22,23, 5.2424, 5.4725, 5.4926 §5
30 april 5.927, 5.2828, 5.4629, 5.51 5.29, 5.3930, 5.45, 5.5031 §5
7 mei 6.432, 6.20, 6.25, 6.2633 6.1134, 6.24, 6.28, 5.57 §5, 6.15, 6.16, 6.17, 6.18, 6.19, 6.30, 6.47, 6.48
14 mei (geen werkcollege) (geen werkcollege) (geen werkcollege)
21 mei 6.1335, 6.4136, 6.55, 7.1737 6.29, 6.36, 6.4338, 6.45 6.21, 6.22, 6.31 - 6.42, 6.49, 7.11, 7.12, 7.15, 7.16, 7.19
28 mei 8.1239, 8.16, 8.18, 8.21 8.10, 8.1340, 8.1541, 8.17 8.11, 8.14, 8.19, 8.20

Opmerkingen

1De structuur van een viergroep van Klein wordt in de laatste alinea van p.9 van het dictaat gedefinieerd.

2De zin tussen haakjes ("Dit is ook waar als...") hoeft niet bewezen te worden. Deze slaat bovendien alleen op het feit dat de orde van een element \(x \in G\) de orde van \(G\) deelt, niet op de identiteit van producten; de producten in kwestie zijn namelijk niet gedefinieerd voor niet-abelse \(G\).

3Tip: Controleer na afloop voor \(n=5\) dat je precies 120 elementen krijgt.

4Zie Lemma 2.8 voor de definitie van \(\langle S \rangle\).

5Een groep \(G\) heet cyclisch als er een element \(a \in G\) is zodanig dat alle elementen van \(G\) machten van \(a\) zijn.

6Een groep \(G\) heet voortgebracht door een deelverzameling \(S \subseteq G\) als ieder element van \(G\) te schrijven is als een product van elementen van \(S\) en inversen van elementen van \(S\).

7Hints: Laat zien dat er een transpositie \(t\) is met \(f(t)\) ongelijk aan 1; wat is \(f(t)\)? Laat ook zien dat \(f(t)\) gelijk is voor alle transposities \(t\). Combineer deze twee resultaten tot een bewijs van het gevraagde. Gebruik Stelling 1.5 en opgave 2.46 voor de deelresultaten.

8Gebruik Stelling 3.11.

9Voor wie het dictaat van 2014 heeft: lees "met een positieve factor" als "met dezelfde positieve factor". Dit is al aangepast in het dictaat van 2015.

10Bij deze opgaven mag je voorgaande opgaven gebruiken, dus bij opgave 30 mag je 29 gebruiken, en bij opgave 31 mag je 29 en 30 gebruiken. Kies je er juist voor om bijvoorbeeld bij opgave 29 gebruik te maken van opgave 30, dan moet je (1) opgave 30 ook maken, (2) bij opgave 30 geen gebruik maken van opgave 29, en (3) dit allemaal duidelijk aangeven.

11Bewijs dat er een \(a \in \mathbb R^2\) is zodat voor alle \(\varphi \in \operatorname{Sym}(F)\) geldt dat \(\varphi(a) = a\), en neem die \(a\) als oorsprong. Enige hints: Laat zien dat de afbeelding \(L \colon \operatorname{Sym}(F) \to O_2(\mathbb R)\) injectief is, dat iedere niet-triviale \(\varphi \in \operatorname{Sym}(F)^+\) een uniek vast punt \(a_{\varphi}\) heeft, en dat \(\operatorname{Sym}(F)^+\) commutatief is.

12Je moet de hint uitwerken en precies maken als je hem gebruikt. Zie voor de definitie van \(\operatorname{Map}\) (en de groepsstructuur daarop) opgave 4.42, die je mag gebruiken.

13Lees de laatste vraag als: Geef een isomorfisme van \(S_4/H_2\) naar een ''bekende'' groep (van orde 6) uit een eerder hoofdstuk.

14Alleen het tweede deel: "Bewijs dat de groep \(A/A^{\operatorname{tor}}\) buiten het eenheidselement geen elementen van eindige orde bevat." Je mag dus gebruiken dat \(A^{\operatorname{tor}}\) een ondergroep is van \(A\) voor abelse groepen \(A\) en hoeft dit niet te bewijzen.

15Geef ook een verzameling representanten (een deelverzameling \(R \subseteq X\) die van iedere baan precies 1 element bevat).

16Opgave 5.2 mag gebruikt worden, en die wordt voorgedaan in het college.

17Hints. Laat \(G\) werken op \(G/H_1 × G/H_2\) en gebruik Stelling 5.3. Voor het tweede deel: bekijk \(G = S_3\). Voor de duidelijkheid: je mag Stelling 5.3 uit het college in dit geval gebruiken ondanks het feit dat deze opgave in een eerder hoofdstuk gedrukt staat.

18Je mag gebruiken dat isometrieën van \(\mathbb R^3\) die \(O\) bewaren lineair zijn.

19Je mag opgave 5.19 gebruiken.

20\(\zeta_3\) is optioneel. Geef eindige groepen expliciet door de (eindige) lijst van elementen te geven.

21De laatste zin is optioneel.

22Bepaal het aantal kleuringen met \(n\) (\(n \geq 1\)) kleuren van de hoekpunten van de kubus, op rotatiesymmetrie (de groep \(K^+\)) na.

23Voor de duidelijkheid: zij \(C\) een verzameling bestaande uit \(n\) verschillende kleuren, bepaal het aantal kleuringen van de hoekpunten van de kubus waarbij alleen kleuren uit \(C\) gebruikt worden, op rotatiesymmetrie na. Een kleuring hoeft hierbij niet alle kleuren uit \(C\) te gebruiken. Deze opgave werkt dus precies zoals opgaves 16, 17 en 18, behalve dat het antwoord een functie is van het getal \(n\).

24Hint: Gebruik opgave 5.20(a).

25Hint: Gebruik de reguliere werking op \(G/H\) en de isomorfiestelling.

26Hint: Gebruik de banenformule.

27Alleen \(A_4\). Hint: Gebruik Stelling 5.3 en de normalisator.

28Je mag opgave 5.27 gebruiken, en de uitkomst van opgave 5.9 voor \(A_5\): \((1, 20, 15, 12, 12)\).

29Je mag opgaven 5.45 en 4.34 gebruiken.

30Je moet Stellingen 5.14 en 5.9 gebruiken.

31Hint: Stel \(H\) is een ondergroep van \(G\) die niet gelijk is aan \(G\). Gebruik opgave 5.49 om te bewijzen dat \(G\) niet de vereniging is van de geconjugeerden van \(H\).

32Gebruik geen resultaten die later in het dictaat staan.

33Hier mag je, zoals meestal, de opgave ervoor gebruiken. Voor opgave \(n\) geeft opgave \(n-1\) vaak een bruikbaar resultaat of opgave \(n+1\) een toepassing. Het is zeer aan te raden een paar minuten te besteden aan het lezen van verschillende opgaven en te kijken wat het "nut" of de "bedoeling" van elke opgave is.

34Dit moet zonder opgave 5.39 te gebruiken. Hint: waarop werkt de groep \(\operatorname{GL}_2(\mathbb F_2)\)?

35Maar dan met \(a = 54321\) en \(b = 98765\). Laat je berekening zien.

36Laat je berekening zien. Vergeet het tweede deel niet.

37Je mag de antwoorden vinden met de computer, maar je moet de antwoorden bewijzen met de hand.

38Doe opgave 4.23 en laat zien dat de ondergroepen cyclisch zijn. Je mag opgave 6.42 gebruiken zonder die te bewijzen.

39Hint: probeer \(G = D_4\).

40Je mag opgave 2.23 gebruiken.

41Je mag opgave 8.13 gebruiken, en let op het geval \(n = 1\).

Reglement voor huiswerk

Huiswerk wordt op de volgende manier behandeld:

 

Typesetten

Bij het vak Algebra 1 moet huiswerk netjes elektronisch worden getypeset voor de leesbaarheid, bij voorkeur met LaTeX. Hierbij moet het minstens even leesbaar zijn als wanneer het met LaTeX gedaan wordt. Zo moeten bij dingen als \(a \in G\) de \(a\) en de \(G\) duidelijk visueel onderscheidend gedrukt zijn, zoals de cursieve \(a\) in LaTeX.

Dit heeft meerdere heel verschillende redenen en voordelen. Huiswerk met LaTeX is veel leesbaarder dan vrijwel alle handschriften. Er geen gekras in elektronisch werk. Met elektronisch werk is het eenvoudiger om veranderingen aan te brengen, waardoor je uitwerkingen die niet correct/optimaal zijn opgeschreven eenvoudig corrigeert/verbetert wanneer je ze nog eens doorleest. Je oefent het opschrijven van wiskundige bewijzen niet alleen op papier maar ook elektronisch. Je oefent met LaTeX, wat scheelt bij het schrijven van je scripties en eventuele latere artikelen. Het blijkt dat het echt uitschrijven van je oplossing helpt met het structureren van je uitwerking. Het scheelt ongelofelijk veel nakijktijd. Het zorgt ervoor dat er geen dingen foutgerekend worden doordat ze niet duidelijk leesbaar waren. Aan de andere kant heeft het natuurlijk ook duidelijke nadelen, vooral voor diegenen die nog niet veel met LaTeX gewerkt hebben. Hier volgen een aantal tips om de nadelen zoveel mogelijk te verlichten.

 

Inhoud

In dit eerste college uit de algebracyclus wordt een aantal onderwerpen uit het vak wiskundige structuren, zoals gehele getallen, permutaties, symmetriegroepen en restklassen, geabstraheerd en geünificeerd in het begrip `groep'. Er wordt aandacht geschonken aan toepassingen in de combinatoriek, de vlakke meetkunde, de getaltheorie en de cryptografie.

Behandeld worden: permutaties, vlakke symmetrieën, groepshomomorfismen, groepswerkingen, rekenen modulo \(n\), het RSA-cryptosysteem, producten en quotiënten van groepen, abelse groepen en Sylowondergroepen.

Tijdens het werkcollege zal tevens aandacht geschonken worden aan het correct opschrijven van bewijzen.

Voorkennis

We gebruiken de taal van de verzamelingenleer, zie de eerste twee hoofdstukken van het dictaat wiskundige structuren. Het helpt aanzienlijk als het vak wiskundige structuren met goed gevolg doorlopen is. Verder worden er soms voorbeelden gegeven die basiskennis uit de lineaire algebra gebruiken.

 

Literatuur

Het dictaat Algebra 1 van Prof. Stevenhagen zal als richtlijn dienen voor het college. Dit dictaat is te koop voor 9 euro bij het eerste werkcollege en daarna bij het secretariaat (kamer 203a). Het wordt zeer gewaardeerd als gepast betaald wordt met zoveel mogelijk munten van 1 euro. Daarnaast is het hier online beschikbaar.

 

Tentamen

Het eindcijfer is 75% van het tentamencijfer plus 25% van het cijfer voor de wekelijkse huiswerkopgaven. Bij het tentamen mogen boeken, dictaten en aantekeningen gebruikt worden, maar geen rekenmachines of andere electronische hulpmiddelen.

Succesvolle deelname aan dit vak wordt beloond met 6 ECTS studiepunten. Hiervoor moet het cijfer voor het tentamen ten minste een 5,0 bedragen en het eindcijfer ten minste een 5,5.